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作者:牛谦 (美国德州大学奥斯汀分校)
女儿转来照片,是哈佛大学物理教授Halperin 在上课(图1),黑板上赫然列出了我的一篇论文。自己的工作能让女儿感到自豪,确确实实令我有些得意。Halperin 是我景仰的老前辈,也是已故同学冯奚乔的博士导师。但我懂得,他列出这篇文章的原因不是我,而是文章的另一个作者,Thouless,2016 年诺贝尔物理学奖获得者之一,也是我的博士导师。这篇文章曾在介绍诺奖的官方文章中引用过,是我攻读博士期间与导师和吴咏时老师合作而成。

图1 哈佛大学物理学教授Halperin在课堂上
奇遇
2016 年的诺贝尔物理学奖是关于凝聚态中的拓扑相与转变。由于Thouless 在两个方面的贡献,他获得奖金的一半,另一半由Haldane与Kosterlitz 两人分享。和我有关的是关于电子拓扑态的预言与刻画,由他和几位合作者在1982 年首次提出,上面提到的那篇文章把他们的结论推广到了广泛的条件。有同学调侃说,我与诺奖“擦肩而过”。那段时间我确实肩膀有点疼痛,但那是风寒引起。我完全明白自己的位置,真心实意地为导师高兴。
能遇见Thouless 这样的高人,需要特别感谢李政道先生的CUSPEA项目。在黄杰同学的鼓动下,我参加并通过了考试,于1981年秋进入西雅图的华盛顿大学物理系做博士生。一起的有我们吕丹同学,还有科大的李明,以及高能所的陈凤至,一位已经37 岁的老大哥王伟源。第二年又去了我们班的崔津河,以及科大的马延军和兰大的马健。
上了一年课,刚刚适应了环境,我发现几位同学已经找好了导师,就急忙去找管理研究生的Blair 老师咨询意见。得知我想做凝聚态理论,他说正好刚来了一位国际大腕,David Thouless。后来知道,他是从耶鲁大学被挖过来,让去那里本想跟他的赵平同学扑了个空。Thouless由于二维拓扑相变和电子局域化理论而赫赫有名,前者是他更早些时候,在英国伯明翰大学与博士后Kosterlitz 一起做的贺兰敏月,是诺奖的另一项工作。我去找他的时候,他在华盛顿大学与另几位博士后(TKNN)刚做好了一篇新的诺奖工作。赵敏芬
对于我来说,这些物理风云如同一个婴儿出世前的事情,当时哪里知道。找到Thouless 的办公室,他正好在,我就用笨拙的英语向他表明意向。Thouless 好像也没说什么,只是转身在文件柜里翻腾了好久,拿出两份文章预印本让我先去看看。一份是他关于量子霍尔效应的会议文章, 另一份大概就是TKNN那篇文章。
初涉
一星期后, 忘了我是怎么向Thouless 交代的,记得是他指定让我去研究哈珀方程。这个方程的物理背景是二维电子同时受周期场和磁场的作用,就是TKNN用的那个理论模型。该方程有好多人研究过,1976 年Hofstadter 用数值计算揭示出它能谱的全貌,竟是一个漂亮的看似蝴蝶的分形。Thouless 他们考虑了单元胞磁通为分数个量子的情形,此时能谱分裂为分母那么多个能带。他们计算了各个能带的霍尔电导,发现都是些以e2/h 为单位的整数。他们证明这些必须是整数,因为表达式俨然就是微分几何里刻画拓扑结构的陈数张超理。
导师让我做的是磁通为无理数的情形,此时能谱分裂成无穷多个部分,类似于康托集那么个分形。很久以前,康托在研究实数论的时候,造出这么一个怪物用以检视大家的逻辑。从0 到1 这个线段开始,把中间的三分之一去掉,再把剩下各部分的中间三分之一去掉,依此类推,直到无穷。最后剩下的居然还是个不可数的集合,比有理数还多得多。
这个哈珀方程也可以看成是在描述一维链上的电子。分数磁通对应一个周期等于分母的周期势,而无理磁通对应的就是一个非周期势场。当这个无理数足够无理,也就是说,连分数展开时用到的系数不发散的时候,电子波函数就会表现出从扩展到局域的转变。转变点就发生在动能和势能相等的地方,对应回二维体系就是各向同性的时候。Thouless 那时已是研究无序体系电子局域化的顶级专家,1976 年“四人帮”做的那个标度理论,便是基于他早期的一个洞见。他让我看的就是,在这个转变点电子波函数到底有什么行为。
Thouless 告知可以编程的计算器店里有卖,TI59,只有两百多块钱,用来算这个问题正好合适。我是在北大二年级的时候首次见识到计算器,舍友唐盛章有一个可以算初等函数的机器让我们大开眼界。TI59 可以编一百步程序,少的话,剩下的空间可以用来储存数据,一步顶10 个。当时的两百多块钱对我来说不是个小数目,但这是个令人心爱的玩意儿,又是为了学业,就毫不犹豫地买下了。这东西还带有外存的磁条,以后好长一段时间我还保留了编过的程序。
Thouless( 图2) 是英国人,说话不多,他的口音让我这个刚刚学用英语的人听起来十分吃力。每周跟他见面后,我得赶快做个笔记,因为有好多听不懂的事情,需要之后慢慢琢磨。那时我一边用买来的机器计算波函数,一边在浩瀚的文献里摸索。波函数上上下下波动,实在看不出个道道。文献看不懂就得找出所引的文献,结果往往是更多的不懂。直到有一天,我仿照别人看临界标度行为的做法,把波函数的横轴以一定比率缩回,发现和原来的波函数有惊人的相似。导师很高兴,他很快做出一个理论推导,写出了文章,并以我为合作者。突然之间,我就有了一篇文章, 尽管不是第一作者。

图2 美国物理学家戴维·索利斯(David J. Thouless),2016 年诺贝尔物理学奖得主之一
新题
作为下一个题目,导师给我一份他刚写好的稿子,让我把条件放宽看结论还是否成立。文章中考虑的是一维周期势场中,若干能带被电子填满,其它空着。这是韩汝奇老师教过的典型的电子绝缘态。Thouless 发现,如果让这个势场缓慢改变,就会带动一个电流,在一个时间周期内会有整数个电荷转移。他证明这必须是个整数,因为表达式也是一个拓扑陈数。导师让我加上无序场,甚至电子相互作用,看能否得到同样的结论。他的直觉是会有,但怎么证明呢?原来的推导不再成立,因为那个陈数表达式依赖于电子布洛赫态的形式。无论如何,这个问题的解决将会非常有意义,因为它也会让我们更深地理解Laughlin 关于整数量子霍尔效应的“规范论证”。
在做出关于分数量子霍尔效应的诺奖工作之前,Laughlin 对整数效应也有个精妙的论证。设想二维电子系统被卷成一个圆筒,筒内穿过一个螺线管。让里边的磁通发生改变,就会沿圆筒一周产生法拉第电场。霍尔效应会让电子在高度方向运动,霍尔电导就等于磁通发生单位改变中电荷转移的数目。磁通的量子单位是h/e,超导中用到的是h/2e 因为库珀对的缘故。Laughlin认为,当磁通改变这么一个量子单位的时候,二维电子体系内部不会产生任何变化异世帝尊。唯一有可能的是,圆筒的一端会有整数个电子转移到了另一端。这样,霍尔电导就必须是量子化的了。至于为什么是整数个电荷转移,他语焉不详。
Laughlin 的论证怎么就用到了规范概念呢?这就得说一说Aharonov—Bohm 效应。螺线管中的磁场并不穿到外边,按照经典物理它不会对圆筒上的电子产生影响。AB说,如果外边的电子遵从量子力学,那就得考虑电磁矢量势在薛定谔方程里的作用。他们发现,只有当磁通是整数个量子的时候,才能做规范变换把矢量势去掉。Laughlin利用这个结果,并假设二维电子体系内部在最高能上有个间隙。这样,变化一个磁通量子的时候,体系内部不仅能态没有变化,它们的填充也不改变。
杨振宁先生在1963 年写过一篇文章,精炼地阐述了AB 的思想,也给了我们一个启示。如果加上周期边条件和磁通,一维体系就可以看成是个布洛赫问题,电荷转移就可以写成系统基态波函数的拓扑陈数的样子。可惜,我们需要对磁通在一个单位内做个平均,但凭什么能做平均呢?理论学家为了计算论证方便,经常会假设一些特殊的条件。比如Laughlin 就利用了圆筒几何,里面还穿了个磁通。如果体系足够大,人们也不会追究,认为整体效果不会受到大的影响。但是,像量子霍尔效应表现出来的整数化, 在实验上是精确地成立。最初的相对误差在百万分之一,以后很快就控制到了十亿分之一的量级。到了1990 年,人们实在找不到更精确的测量手段,国际上干脆决定用霍尔效应作为电阻的基准。
彷徨
因此,问题的关键就在于为何能做这个平均而不引起误差。吕丹在我用TI59 算题的时候,已经用上了大型计算机VAX,跟着他的导师Rehr 开始做第一性原理计算。在走投无路的时候,我跟着吕丹学了Fortran, 也让导师给我设了个账号,想用数值方法看看。吕丹编程很有一套,记得他讲过一个八皇后问题,让我听得着迷。但是,一段时间后我意识到,数值方法也需要各种各样的近似,对我的问题根本不能提供帮助。
在文献中看到,许多理论推导都会用到格林函数,于是我狠下了一番功夫想把它弄懂。发现有各种各样的定义,在学生们举办的讲座上我介绍了心得,戏说这些Green函数Red 函数把我看得眼花缭乱,头晕脑胀。在电子局域化问题上,大家用的定义是E-H 这个算符的逆,其中H 是哈密顿量,E 是能量参数。在位置表象里,格林函数依赖两个位置,如同电磁学问题中的源点和场点。印象深刻的是Thouless有个论断,说当E 不在能谱上时,格林函数随距离而指数衰减;当E 在能谱上,但状态波函数是局域的时候,该结论仍然成立。利用这个性质他在1981 年论证了,无序势在任意阶微扰中都不会对量子霍尔电导产生影响。他私下跟我说,有个日本人在实验发现前曾有类似的论述,可惜做到第三阶微扰就停下了,要不然他会与von Klitzing 分享量子霍尔效应的诺奖。
但是,我仍然不得要领。心灰意冷的时候,心里不免抱怨导师怎么给了我这么个题目,让我无从下手。1983 年秋天,Thouless 受剑桥大学邀请去过学术假,可以带我同行。我很高兴,但申请签证要等两个月时间。导师不在跟前,我就懒散了许多,经常在休息室观看吕丹和崔津河下围棋。吕丹多才多艺,那时已经业余一段。老崔刚学不久,被让九子。吕丹攻城略地于无形,我直替老崔着急,不免指划几下。老崔对我十分不满,说他也可以让我九子。我毫不犹豫地应战了,结果一败涂地。围棋原来这么深奥!老崔师从Fain勃利天气预报,做晶体表面的原子吸附及其构形规律的实验研究,恰似一盘微观围棋。后来,他的宏观围棋一发不可收拾,不但让吕丹招架不住,更成为西雅图地区一霸。
突破
终于等到了签证,我立马买了机票,赶赴英国。到了剑桥已经是晚上, 按照别人的指引住在了YMCA。记得招待小姐彬彬有礼,浓重的英国口音煞是好听。由于时差,睡下不久又醒来,一看表凌晨4 点。我那个问题魂牵梦绕彭雪茹,到此仍然没有着落。但见了导师总得给个交代,于是我拿出纸笔,作了最后一次“挣扎”。
突然想到,如果我能证明结果不依赖于磁通,不就可以做那个平均了吗?我把电荷转移的表达式对磁通求导,用格林函数表达出来,一下子曙光透亮,看到了解。哈哈,真是“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”。上午,我迫不及待地赶到了Cavendish Lab,找到Thouless向他作了汇报。他很快明白了我的意思,表示:“嗯,就是它了”。导师的首肯让我非常高兴,但我也没敢显露声色,只是急忙说,那我就去把它整理成个文章的样子再说。
一块石头落地,心情轻松了以后,我才想起来好好看看这个地方。Cavendish 当年首次测量到万有引力常数,那个令人不可思议的扭矩天枰,就陈列在楼下一个博物馆里。博物馆一面墙上,挂着一排历届实验室主任的肖像。首任竟然是麦克斯韦,咱们电动力学的始祖!继任者也是一个个如雷贯耳的大名:瑞利、汤姆生、卢瑟福、布拉格、莫托、皮帕得。后面两位在普通教科书里不太提到,但在凝聚态界可是赫赫有名张家骏。前者是金属绝缘转变研究的先驱,后者在超导物理中有以其命名的公式。
后来又发现,咱们沈铁汉同学正在这物理圣地攻读博士。我们在北大虽不同班,但异地重逢格外的亲。他带我参观图书馆陈善明,遇到一位埋头查书的老者,他说那就是莫托。铁汉还热情地把我介绍给他那里的同学,大家一起又带我到城里参观,去了牛顿当年呆过的学院,还有徐志摩轻轻划船的小河。总之,有铁汉和这帮新同学的陪伴,我在剑桥度过了一段非常愉快的时光。二十多年后,他们中间的郭光宇还成为了我的密切合作者。本想晒一下和他们一起的记录,但不知为何就是找不到铁汉的照片,只有一张我与他的雪人作品(图3)的合影。

图3 作者与同学沈铁汉所堆雪人的合影
收获
文章的写作和发表非常顺利,以致我都没有留下什么印象。只记得在深冬时节,陶荣甲和夫人也来到剑桥,并带我一起去欧洲大陆好好玩了一圈。陶是Thouless 夏天新招的博士后,长我十几岁。他通过最初一期的CUSPEA,到哥伦比亚大学师从Luttinger,3 年之内便拿到了博士。到剑桥的时候, Tao—Thouless 理论已经“出炉”,正在分数量子霍尔效应问题上要与Laughlin一争高低。
春天回到西雅图,我遇到了吴咏时,就是Halperin 黑板上列的文章里的那个Wu。他当年到美国走的是杨振宁路线,当时正在访问粒子物理组的Zee 教授洪荒道玄。他和陶荣甲合作,把Laughlin 的规范论证推广到了分数量子霍尔效应的情形,认为此时的体系基态必须有数重简并。像陶荣甲一样,老吴也比我大十几岁,他让我学到好多书本里课堂上看不到的东西。Thouless 等人说的陈,英文里是Chern,我还一直以为是个西方人惠州社保个人查询。老吴告诉我这是个中国人,微分拓扑领域里的鼻祖级大师陈省身,其纤维丛拓扑理论在高能物理中有极高的地位。后来我也看过杨振宁先生的中文介绍,记得他确实非常推崇,末尾还作一小诗,高呼“欧高黎嘉陈”。老吴认为,Thouless 能把拓扑陈数运用到凝聚态物理中,将来一定也会有极高的价值。
吴咏时因而也非常喜欢我关于电荷转移的工作,希望我能将其应用到量子霍尔效应万中良,把Thouless 等人的理论推广。我先是有点犹豫,认为我文章的推论已经把Laughlin以及陶吴推广的规范论证严格化了,因而逻辑上已经完全解决了量子霍尔效应的问题。在老吴的开导劝说下,我还是把文章写了出来,直接了当正面地说明了霍尔电导在广泛条件下的拓扑量子化。Thouless开会回来后看到稿子,也非常高兴。在关于分数量子化的问题上,他亲自补充了一段Laughlin 波函数的论述,就让我送去发表了。这就是本文开始提到的那篇论文。
后来事态的发展正如老吴所预见,让我充分体会到了我们工作的意义。如果说Laughlin 的规范论证还是就事论事,那Thouless 开辟的拓扑思路最终摆脱了对具体模型的依赖,给人们带来了一个更为远大的视野。自己能在学生期间为此做出贡献并得到认可,我感到非常庆幸。令人惋惜的是,2016 年宣布诺贝尔物理学奖时,导师已患严重老年失忆,他往常深邃的目光变得恍惚。但他家人跟我说,确信他还是知道过自己得了诺奖,因为那个消息曾令老人家眼含泪水。
本文选自《物理》2018年第7期
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